Simulação de Monte Carlo com GBM Uma das formas mais comuns de estimar o risco é o uso de uma simulação de Monte Carlo (MCS). Por exemplo, para calcular o valor em risco (VaR) de uma carteira, podemos executar uma simulação de Monte Carlo que tenta prever a pior perda provável para uma carteira dada um intervalo de confiança em um horizonte de tempo especificado - sempre precisamos especificar dois Condições para o VaR: confiança e horizonte. (Para a leitura relacionada, veja os usos e os limites da volatilidade e introdução ao valor em risco (VAR) - parte 1 e parte 2.) Neste artigo, nós reveremos um MCS básico aplicado a um preço conservado em estoque. Precisamos de um modelo para especificar o comportamento do preço das ações e use um dos modelos mais comuns em finanças: o movimento geométrico Browniano (GBM). Portanto, enquanto a simulação de Monte Carlo pode se referir a um universo de diferentes abordagens de simulação, começaremos aqui com os mais básicos. Onde começar Uma simulação de Monte Carlo é uma tentativa de prever o futuro muitas vezes. No final da simulação, milhares ou milhões de ensaios aleatórios produzem uma distribuição de resultados que podem ser analisados. As etapas básicas são: 1. Especificar um modelo (por exemplo, movimento browniano geométrico) 2. Gerar ensaios aleatórios 3. Processar a saída 1. Especificar um modelo (por exemplo, GBM) Neste artigo, vamos usar o movimento geométrico browniano (GBM) Que é tecnicamente um processo de Markov. Isso significa que o preço das ações segue uma caminhada aleatória e é consistente com (pelo menos) a forma fraca da hipótese de mercado eficiente (EMH): a informação de preços passada já está incorporada eo movimento de preço seguinte é condicionalmente independente de movimentos de preços passados . A fórmula para GBM é encontrada abaixo, onde S é o preço da ação, m (o mu grego) é o retorno esperado. S (sigma grego) é o desvio padrão dos retornos, t é o tempo, e e (Epsilon grega) é a variável aleatória. Se reorganizarmos a fórmula para resolver apenas a mudança no preço das ações, vemos que a GMB diz que a variação no preço das ações é o preço das ações S multiplicado pelos dois termos encontrados dentro dos parênteses abaixo: O primeiro termo é uma deriva e o segundo Termo é um choque. Para cada período de tempo, nosso modelo assume que o preço irá diminuir pelo retorno esperado. Mas a deriva será chocada (adicionada ou subtraída) por um choque aleatório. O choque aleatório será o desvio padrão s multiplicado por um número aleatório e. Esta é simplesmente uma maneira de dimensionar o desvio padrão. Essa é a essência do GBM, como ilustrado na Figura 1. O preço das ações segue uma série de etapas, em que cada passo é um drift plusminus um choque aleatório (em si mesmo uma função do desvio padrão dos estoques): uma cadeia de Markov é uma discreta - Processo aleatório do tempo com propriedade de Markov. Seus componentes são estados e transições de probabilidade entre eles. A propriedade de Markov afirma que a probabilidade dos próximos estados depende apenas do estado atual. Portanto, a cadeia Markov é um conjunto de estados e todas as probabilidades de transição entre estados. Cadeia simples para drift Let8217s assume que a estimativa do parâmetro de deriva pode levar aos dois estados a seguir: Positivo, ou seja, a deriva é maior ou igual a zero. Negativo, ou seja, a deriva é menor do que zero. Assim, pode-se construir a cadeia de Markov para esses estados como mostrado abaixo . Em 2010 para o USDCHF, as derivações diárias dão as seguintes probabilidades: a cadeia de Markov tem distribuição estacionária. É calculado colocando: e, portanto, por lei de probabilidade total: Assim, as probabilidades estacionárias de derivações positivas e negativas são: Infelizmente, não dá nenhuma sugestão sobre como prever a deriva futura. Let8217s vêem o que pode dar para o parâmetro de volatilidade. Cadeia simples para volatilidade Para volatilidade () 8220up8221 denota aumento de volatilidade e (-) 8220down8221 denota queda de volatilidade. Em 2010, as probabilidades de volatilidade histórica diária do USDCHF são: Esta assimetria em probabilidades transitivas parece ter raízes na definição de 8220up8221 e 8220down8221. É relativamente fácil mostrar que se a volatilidade é uma variável aleatória com função de distribuição cumulativa F (x), as probabilidades de subir e descer e suas transições devem ser: as probabilidades de estado são derivadas da seguinte maneira: onde F (x) é uma distribuição cumulativa função. A integração da expressão interna resulta em: E a probabilidade de baixa é, portanto, as probabilidades de transição requerem um pouco de matemática. Por definição de probabilidade condicional, a probabilidade ascendente é: Let8217s calcula a probabilidade conjunta de 2 8220ups8221: Integração por rendimentos y e x: Portanto, a probabilidade condicional de up anterior é: E isso corresponde bem aos dados experimentais. O caso de cima para baixo é resolvido pelo seguinte:
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